где М - множество, которое должно быть задано одним из возможных строгих способов, R и F - символы отношений и функций, используемых в данной системе. По сути этим способом можно только обозначить некоторую систему, да и то лишь в самом общем виде. Чтобы свойства отношений и функций были однозначно определены, нужно дополнительно указать перечень аксиом, отдельно по каждому отношению и по каждой функции.

Алгеброй называется система, использующая только функции, причем все функции должны задавать связь вида Мⁿ ® M. Не случайно изо всех соответствий именно функции выбраны для построения алгебр. Свойство однозначности образа необходимо для получения однозначных результатов в практических приложениях.

Кортеж (F₁, F₂, ...F_n) называется сигнатурой алгебры (от signum - знак). Сами функции, образующие сигнатуру называются операциями, определенными в данной алгебре. В зависимости от числа мест различают унарные, бинарные и многоместные операции, а кортеж арностей алгебры называют её типом m . Например, используя обычное сложение и умножение на множестве действительных чисел можно получить алгебру

типа m = 2, 2.

а М; F(a) M.

При сравнении одной алгебры с другой иногда выясняется, что одна из них может заменить другую. Эта способность называется гомоморфизмом.

A = М; F , и B = N; Ф.

существует отображение из M в N, т.е. каждому элементу из M однозначно соответствует некоторый элемент в N,

результат операции одинаков, независимо от того, выполнена ли она сперва в M с помощью операции F, с последующим отображением в N, или наоборот, сперва выполнено отображение в N с последующим выполнением операции Ф.

Гомоморфизм существует, например: из алгебры L; + (множество логарифмов по сложению) в алгебру (множество положительных и отрицательных чисел по умножению). Алгебра с умножением здесь может заменить алгебру со сложением, но не наоборот, т.к. отрицательные числа не имеют логарифмов. Здесь алгебра с умножением гомоморфна алгебре со сложением.

Другой пример гомоморфизма: из алгебры N; + в алгебру {0, 1, 2, ...9}; ₁₀ . Здесь первая алгебра - множество натуральных чисел по сложению, а вторая - множество чисел от 0 до 9 со сложением по модулю 10. Получается так, что алгебра с конечным и при этом очень небольшим носителем гомоморфна алгебре с бесконечным носителем, но не наоборот.

Одна из основных задач математики как раз и состоит в выявлении гомоморфизмов и изоморфизмов в различных прикладных теориях, благодаря чему происходит обмен достигнутыми результатами и унификация научного языка. Перейдем к описанию различных универсальных алгебр, начиная с наиболее простых.

М; *.

Здесь для операции * установлена только одна аксиома - аксиома ассоциативности А₁.

Абелевой полугруппой называется алгебра такого же вида, но уже с двумя аксиомами: А₁ (ассоциативности) и А₂ (коммутативности)

Здесь операция * уже больше похожа на сложение или умножение. Примером абелевой полугруппы может служить множество слов из букв некоторого алфавита, из которого исключены слова, отличающиеся только порядком букв. Например, из двух слов: aba и aab должно быть оставлено только одно.

Моноидом или полугруппой с единицей, называется полугруппа, для которой наряду с аксиомой ассоциативности А₁ принята аксиома А'₃ о существовании нейтрального элемента е, такого, что е*а = а. Такой нейтральный элемент называется левой единицей. Можно эту аксиому выразить иначе, как А"₃: а*е = а. Тогда нейтральный элемент должен называться правой единицей. Если же операция * коммутативна, т.е. кроме аксиом А₁ и А₃ принята аксиома А₂, то нейтральный элемент будет называться просто единицей и е*а = а*е = а.

Некоторые полугруппы можно получить неоднократным применением операции * к элементам некоторого подмножества М₀ М. В этом случае подмножество М₀ называется семейством образующих полугруппы, а элементы: а М₀ называются образующими. В дискретной математике роль образующих играют символы или буквы некоторого алфавита, который по определению должен быть подмножеством носителя М.

Иногда семейство образующих состоит из одного единственного элемента, а все остальные элементы носителя М получаются многократным применением операции *. В этом случае полугруппа называется циклической, а её элементы называются степенями образующей а₀. Примером циклической группы является множество натуральных чисел, определенное, как N; *, где образующая а₀ = 1, а операция * сведена к инкременту (прибавлению единиц).

Группой называется алгебра М; * , у которой для операции * приняты аксиомы А₁, А'₃ или А"₃ и дополнительно - аксиома А₄ о существовании обратного элемента а^-1, такого, что

а^-1 *а = е; или А"₄: a*a^-1 = e.

Если считать группу мультипликативной, то нейтральный элемент е можно называть единицей, а если аддитивной, то нейтральный элемент будет называться нулем, а вместо обратного элемента а^-1 принимается противоположный элемент -а.

Абелевой группой называется коммутативная группа, т.е. мультипликативная или аддитивная группа, у которой для операции * принята аксиома А₂. Абелевыми группами являются: множество действительных чисел по сложению, множество рациональных чисел без нуля по умножению. Эти группы имеют бесконечные носители, так как иначе не обеспечивается замкнутость М относительно операции *.

В дискретной математике часто используются конечные группы. В качестве примера рассмотрим так называемую группу самосовмещений. Возьмем квадрат с вершинами A, B, C, D. Закрепим его в центре и будем вращать против часовой стрелки. При каждом повороте на 90⁰ будет происходит замена одних букв другими, но всего возможны только четыре расположения, которые будут циклически повторяться. Обозначим поворот на 0⁰ буквой а, на 90⁰ - буквой b, на 180⁰ - буквой с и на 270⁰ - d.

Получим четыре унарные операции вращения, из которых составим носитель алгебры: М = {a, b, c, d}. В качестве групповой операции примем композицию

	a	b	c	d
a	a	b	c	d
b	b	c	d	a
c	c	d	a	b
d	d	a	b	c

Группа самосовмещений является циклической группой, так как все её элементы могут быть получены как степени b: a = b⁴, c = b², d = b³.

Содержание