2

2. Кортеж. Произведение и разбиение множеств (лекция 2)

-определение кортежа и способ его записи,

-декартово произведение множеств,

-декартова степень,

-разбиения и классы,

Кортежем называется последовательность элементов, в которой, в отличие от списка элементов множества, элементы могут повторяться, но зато заданный их порядок должен строго соблюдаться. “Кортеж” – такое же первичное, интуитивное понятие, как “множество”. Элементами кортежа обычно бывают буквы (символы), но вообще ими могут быть любые множества и кортежи. Кортеж принято задавать списком в круглых скобках. Кортежи:

равны, потому, что {a, b} = {b, a}. В то же время (a, b, c) и (b, a, c) - разные кортежи.

Число элементов в кортеже называется его длиной, всегда представляющей целое, неотрицательное число. Кортежи длиной n = 2 называют парами, длиной n = 3 – тройками и т.д., а при неизвестном n – энками. Кортеж, не содержащий ни одного элемента, называется пустым и обозначается просто парой скобок ( ). Два кортежа равны, если они имеют одинаковую длину и на одинаковых местах в них стоят одинаковые элементы.

Декартовым (или “прямым”) произведением множеств называется множество всех пар (a, b) таких, что

Название происходит из геометрического представления кортежей как векторов в пространстве с взаимно перпендикулярными (ортогональными) координатами. А такую координатную сетку, как и всю аналитическую геометрию, изобрел Рене Декарт (“Геометрия”, 1637 г.).

Пусть, например: V = {a, b}; W = {1, 2, 3}. Тогда

F = = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Не будем забывать, что декартово произведение определено как множество, и поэтому порядок перечисления в списке его элементов является произвольным. Только для удобства чтения подобные списки приводят в естественном порядке. Напротив, порядок следования элементов внутри пар строго определен. Это означает, что декартово произведение некоммутативно по определению:

Декартовы произведения трех и большего числа множеств получаются аналогично. Они состоят из упорядоченных троек, четверок и т.д. Декартово произведение ассоциативно, т.е.:

Если перемножаемые множества равны, то можно сказать, что оба элемента каждой пары берутся из одного и того же множества. Само произведение при этом становится декартовой степенью

Например, при A = {p, q}, получим:

A³={(p,p,p),(p,p,q),(p,q,p),(p,q,q),(q,p,p),(q,p,q),(q,q,p),(q,q,q)}.

Итак, мы определили три новых понятия: кортеж, произведение множеств и степень множества, на которые будем опираться в дальнейшем изложении.

Разбиением множества называется замена этого множества на несколько непересекающихся подмножеств, называемых классами, объединение которых равно исходному множеству. В качестве классов можно использовать только собственные подмножества исходного множества. Пустое подмножество не может являться классом, так как по определению входит в любое другое множество. Второе несобственное подмножество тоже не является классом, так как при этом не будет никаких других классов, и разбиение не произойдет. Пример разбиения множества на классы:

M = {a, b, c, d, e, f}; C₁ = {a, d}; C₂ = {b, c, e, f};

Содержание